信頼区間（Confidence Interval）

信頼区間（Confidence Interval）の概要

信頼区間（Confidence Interval）は、統計学において、母集団のパラメータ（平均や比率など）が存在すると推定される範囲を示す概念です。信頼区間は、データの不確実性を定量化するために広く使用されます。

具体的に言うと、信頼区間は標本から母集団の特性を推定する際に用いられます。例えば、ある研究で一部の人々（標本）に質問をし、その結果をもとに全人口（母集団）の意見を推定する場合、信頼区間はその推定値の信頼度を示します。

信頼区間の計算には通常、平均（または比率などのパラメータ）と標準誤差（平均のばらつきの一種）が使用され、次のような形式で示されます：

（平均 – Z * 標準誤差, 平均 + Z * 標準誤差）

ここで、ZはZスコアと呼ばれ、信頼水準に基づいて決まります（例えば、95%信頼区間の場合、Zスコアは約1.96）。

信頼区間の幅（上限と下限の差）は信頼度と不確実性のバランスを示しています。幅が広い信頼区間は大きな不確実性を示し、データのバラつきが大きいか、標本数が少ないことを意味します。一方、狭い信頼区間は小さな不確実性を示し、データのバラつきが小さいか、または標本数が多いことを意味します。

信頼区間は、科学的な研究における結果の解釈や、ビジネスの意思決定におけるリスク評価など、多くの分野で広く利用されています。

Excelでは、「信頼区間」を計算するために「CONFIDENCE.T」または「CONFIDENCE.NORM」関数を使用します。この関数は正規分布を仮定しており、サンプルサイズ、標準偏差、信頼水準（通常は95%）を基に信頼区間の幅を計算します。

以下に示すのは、「CONFIDENCE.NORM」関数の形式とその使用方法です。

=CONFIDENCE.NORM(α, σ, n)

ここで、

この関数は信頼区間の「幅」を返すことに注意してください。つまり、平均（μ）を中心にした信頼区間を求めるためには、計算された信頼区間の値を平均に足し引きします。

Lower bound = μ - CONFIDENCE.NORM(α, σ, n)
 Upper bound = μ + CONFIDENCE.NORM(α, σ, n)

「CONFIDENCE.NORM」関数は、信頼区間の計算に必要な要素（信頼水準、標準偏差、サンプルサイズ）が揃っている場合に便利です。また、正規分布を仮定している点も念頭に置いておくことが重要です。データが正規分布に従わない場合や、その他の分布を仮定する場合には、適切な手法を選ぶ必要があります。

Excelの「CONFIDENCE.NORM」関数と「CONFIDENCE.T」関数はどちらも信頼区間を計算するために使われますが、それらは使用する分布と母集団の標準偏差の既知・未知によって異なります。

CONFIDENCE.NORM：この関数は正規分布（Z分布）を基に信頼区間を計算します。この関数を使用する場合、母集団の標準偏差（σ）が既知である必要があります。母集団の標準偏差が既知の場合、Zスコアを使用して正規分布の下で信頼区間を計算します。
CONFIDENCE.T：この関数はt分布を基に信頼区間を計算します。母集団の標準偏差が未知で、サンプルの標準偏差（s）を母集団の標準偏差の代わりに使う場合に適しています。サンプルサイズが小さい（通常は30未満）ときや、母集団の分布が正規分布でない可能性がある場合には、t分布を用いて信頼区間を計算します。

これらの違いは、基本的には母集団の標準偏差が既知であるか未知であるか、また、サンプルサイズが大きいか小さいかによるものです。この情報に基づいて適切な関数を選択することが重要です。

以下に、10人の学生のテストスコアを元に95%の信頼区間を計算する例を示します。この例では「CONFIDENCE.T」関数を使用します。なぜなら、ここでは母集団の標準偏差が未知であり、サンプルサイズが小さいからです。

ここで、学生たちのテストスコアの平均、標準偏差、サンプルサイズを計算します。

次に、95%の信頼区間（α=0.05）の幅を計算します：

これにより、平均テストスコアの95%の信頼区間を計算できます：

下限: =AVERAGE(B2:B11) - CONFIDENCE.T(0.05, STDEV.S(B2:B11), COUNT(B2:B11))（この例では87.33
）
上限: =AVERAGE(B2:B11) + CONFIDENCE.T(0.05, STDEV.S(B2:B11), COUNT(B2:B11))（この例では91.67）

したがって、このサンプルデータから推定すると、全体の学生の平均テストスコアは87.33から91.67の間にあると95%の確率で言えます。