Excelで数珠順列を処理しよう

数珠順列の概要

数珠順列(Necklace Permutations)とは、円順列の一種で、順列を円形に並べたとき、始点や終点が特定できないため、どこから始めても良いという特徴があります。しかし、円順列とは異なり、数珠順列では向きを考慮しないため、回転による同一の順列は1つと数えます。

例: 3つの要素「A」「B」「C」を用いた数珠順列の場合

このように、3つの要素からなる数珠順列は実際には2つしかありません。

数珠順列の総数は、通常の順列の総数を2で割ったものになります(半分)。つまりｎ個の要素からの数珠順列の総数は (n−1)!/2 になります。

要素の数が5ならば(5−1)!/2で12パターンであることがわかります(4×3×2÷2)。

エクセルで数珠順列の総数を計算するには、以下の式をセルに入力します。ここで、n は順列を生成する要素の数です。階乗はFACT関数で取り扱うことができます。

=FACT(n-1)/2

この式を使用すれば、指定した要素の数に基づいて数珠順列の総数を得ることができます。

=FACT(A1-1)/2

セルA1に要素の数が入力されていれば上記の式より数珠順列のパターン数が判明します。

数珠順列は、実際の応用シーンは少ないですが、以下は数珠順列が考慮されるかもしれない状況や使用例を示しています。

ネックレスやブレスレットのデザイン: ネックレスやブレスレットは閉じたループの形をしているため、どこを始点としても良い。異なるビーズや宝石の配置パターンを考える際、同じデザインが回転によって得られる場合は1つのデザインとしてカウントする場面で数珠順列が利用される。
円形のテーブルの座席配置: あるイベントで円形のテーブルを使用する場合、どの席から始めてもよい座席配置のパターンを考えるときに数珠順列が役立つ。
分子の配向: 化学の分野で、特定の原子や基からなる分子が環状に構造を持っている場合、その分子の配向を考慮する必要がある。このとき、どの原子や基から見ても同じ配向とみなされる場合が数珠順列に相当する。
音楽のリズムやパターン: あるリズムやパターンが連続してループする音楽の場面で、そのリズムのバリエーションを考える際に、同じリズムが回転によって得られる場合は1つのパターンとしてカウントすることが考えられる。
ゲームのパズルデザイン: あるタイルやピースを円形に配置するタイプのパズルゲームで、解のバリエーションを考える際に数珠順列が考慮される可能性がある。

これらの例は、回転による同一性を考慮する必要があるシーンで数珠順列の考え方が役立つ場面を示しています。